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1两个基本原理
一、教学目标 1、知识传授目标:正确理解和掌握加法原理和乘法原理 2、能力培养目标:能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题 3、思想教育目标:发展学生的思维能力,培养学生分析问题和解决问题的能力 二、教材分析 1.重点:加法原理,乘法原理。 解决方法:利用简单的举例得到一般的结论. 2.难点:加法原理,乘法原理的区分。解决方法:运用对比的方法比较它们的异同. 三、活动设计 1.活动:思考,讨论,对比,练习. 2.教具:多媒体课件. 四、教学过程正 1.新课导入 随着社会发展,先进技术,使得各种问题解决方法多样化,高标准严要求,使得商品生产工序复杂化,解决一件事常常有多种方法完成,或几个过程才能完成。 排列组合这一章都是讨论简单的计数问题,而排列、组合的基础就是基本原理,用好基本原理是排列组合的关键. 2.新课 我们先看下面两个问题. (l)从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船.一天中,火车有4班,汽车有 2班,轮船有 3班,问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 板书:图 因为一天中乘火车有4种走法,乘汽车有2种走法,乘轮船有3种走法,每一种走法都可以从甲地到达乙地,因此,一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法. 一般地,有如下原理: 加法原理:做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1十m2十…十mn种不同的方法. (2) 我们再看下面的问题: 由A村去B村的道路有3条,由B村去C村的道路有2条.从A村经B村去C村,共有多少种不同的走法? 板书:图 这里,从A村到B村有3种不同的走法,按这3种走法中的每一种走法到达B村后,再从B村到C村又有2种不同的走法.因此,从A村经B村去C村共有 3X2=6种不同的走法. 一般地,有如下原理: 乘法原理:做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1 m2…mn种不同的方法. 例1 书架上层放有6本不同的数学书,下层放有5本不同的语文书. 1)从中任取一本,有多少种不同的取法? 2)从中任取数学书与语文书各一本,有多少的取法? 解:(1)从书架上任取一本书,有两类办法:第一类办法是从上层取数学书,可以从6本书中任取一本,有6种方法;第二类办法是从下层取语文书,可以从5本书中任取一本,有5种方法.根据加法原理,得到不同的取法的种数是6十5=11. 答:从书架L任取一本书,有11种不同的取法. (2)从书架上任取数学书与语文书各一本,可以分成两个步骤完成:第一步取一本数学书,有6种方法;第二步取一本语文书,有5种方法.根据乘法原理,得到不同的取法的种数是 N=6X5=30. 答:从书架上取数学书与语文书各一本,有30种不同的方法. 练习: 一同学有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币 1)从中任取一枚,有多少种不同取法? 2)从中任取明清古币各一枚,有多少种不同取法? 例2(1)由数字l,2,3,4,5可以组成多少个数字允许重复三位数? (2)由数字l,2,3,4,5可以组成多少个数字不允许重复三位数? (3)由数字0,l,2,3,4,5可以组成多少个数字不允许重复三位数? 解:要组成一个三位数可以分成三个步骤完成:第一步确定百位上的数字,从5个数字中任选一个数字,共有5种选法;第二步确定十位上的数字,由于数字允许重复, 这仍有5种选法,第三步确定个位上的数字,同理,它也有5种选法.根据乘法原理,得到可以组成的三位数的个数是N=5X5X5=125. 答:可以组成125个三位数. 练习: 1、从甲地到乙地有2条陆路可走,从乙地到丙地有3条陆路可走,又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走. (1)从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法? (2)从甲地到丙地共有多少种不同的走法? 2.一名儿童做加法游戏.在一个红口袋中装着2O张分别标有数1、2、…、19、20的红卡片,从中任抽一张,把上面的数作为被加数;在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、…、9、1O的黄卡片,从中任抽一张,把上面的数作为加数.这名儿童一共可以列出多少个加法式子? 3.题2的变形 4.由0-9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数? 小结:要解决某个此类问题,首先要判断是分类,还是分步?分类时用加法,分步时用乘法 其次要注意怎样分类和分步,以后会进一步学习 【复习基本原理】 1.加法原理 做一件事,完成它可以有n类办法,第一类办法中有m1种不同的方法,第二办法中有m2种不同的方法……,第n办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方法. 2.乘法原理 做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一 步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,.那么完成这件事共有 N=m1m2m3…mn 【排列数】 定义:从n个不同元素中,任取m()个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数,用符号表示. 用符号表示上述各题中的排列数. 排列数公式:=n(n-1)(n-2)…(n-m+1) 课题:排列的简单应用(1) 目的:进一步掌握排列、排列数的概念以及排列数的两个计算公式,会用排列数公式计算和解决简单的实际问题. 过程: 一、复习:(引导学生对上节课所学知识进行复习整理) 1.排列的定义,理解排列定义需要注意的几点问题; 2.排列数的定义,排列数的计算公式 或 (其中m≤n m,nZ) 3.全排列、阶乘的意义;规定 0!=1 4.“分类”、“分步”思想在排列问题中的应用. 二、新授: 例1:⑴ 7位同学站成一排,共有多少种不同的排法? 解:问题可以看作:7个元素的全排列——=5040 ⑵ 7位同学站成两排(前3后4),共有多少种不同的排法? 解:根据分步计数原理:7×6×5×4×3×2×1=7!=5040 ⑶ 7位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法? 解:问题可以看作:余下的6个元素的全排列——=720 ⑷ 7位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种? 解:根据分步计数原理:第一步 甲、乙站在两端有种;第二步 余下的5名同学进行全排列有种 则共有=240种排列方法 ⑸ 7位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种? 解法一(直接法):第一步 从(除去甲、乙)其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有种方法;第二步 从余下的5位同学中选5位进行排列(全排列)有种方法 所以一共有=2400种排列方法. 解法二:(排除法)若甲站在排头有种方法;若乙站在排尾有种方法;若甲站在排头且乙站在排尾则有种方法.所以甲不能站在排头,乙不能排在排尾的排法共有-+=2400种. 小结一:对于“在”与“不在”的问题,常常使用“直接法”或“排除法”,对某些特殊元素可以优先考虑. 例2 : 7位同学站成一排. ⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种? 解:先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有种方法;再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法.所以这样的排法一共有=1440种. ⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种? 解:方法同上,一共有=720种. ⑶甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种? 解法一:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾,有种方法;将剩下的4个元素进行全排列有种方法;最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法.所以这样的排法一共有=960种方法. 解法二:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素, 若丙站在排头或排尾有2种方法,所以丙不能站在排头和排尾的排法有种方法. 解法三:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的四个位置选择共有种方法, 再将其余的5个元素进行全排列共有种方法,最后将甲、乙两同学“松绑”,所以这样的排法一共有=960种方法. 小结二:对于相邻问题,常用“捆绑法”(先捆后松). 例3: 7位同学站成一排. ⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种? 解法一:(排除法) 解法二:(插空法)先将其余五个同学排好有种方法,此时他们留下六个位置(就称为“空”吧),再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有种方法,所以一共有种方法. ⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种? 解:先将其余四个同学排好有种方法,此时他们留下五个“空”,再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有种方法,所以一共有=1440种. 小结三:对于不相邻问题,常用“插空法”(特殊元素后考虑). 三、小结: 1.对有约束条件的排列问题,应注意如下类型: ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置; ⑵某些元素要求连排(即必须相邻); ⑶某些元素要求分离(即不能相邻); 2.基本的解题方法: ⑴ 有特殊元素或特殊位置的排列问题,通常是先排特殊元素或特殊位置,称为优先处理特殊元素(位置)法(优限法); ⑵ 某些元素要求必须相邻时,可以先将这些元素看作一个元素,与其他元素排列后,再考虑相邻元素的内部排列,这种方法称为“捆绑法”; ⑶ 某些元素不相邻排列时,可以先排其他元素,再将这些不相邻元素插入空挡,这种方法称为“插空法”; ⑷ 在处理排列问题时,一般可采用直接和间接两种思维形式,从而寻求有效的解题途径,这是学好排列问题的根基. 4排 列 课题:排列的简单应用(2) 目的:使学生切实学会用排列数公式计算和解决简单的实际问题,进一步培养分析问题、解决问题的能力,同时让学生学会一题多解. 过程: 一、复习: 1.排列、排列数的定义,排列数的两个计算公式; 2.常见的排队的三种题型:⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置——优限法; ⑵某些元素要求连排(即必须相邻)——捆绑法; ⑶某些元素要求分离(即不能相邻)——插空法. 3.分类、分布思想的应用. 二、新授: 示例一: 从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单,如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上,则共有多少种不同的排法? 解法一:(从特殊位置考虑) 解法二:(从特殊元素考虑)若选: 若不选: 则共有 +=136080 解法三:(间接法)136080 示例二: ⑴ 八个人排成前后两排,每排四人,其中甲、乙要排在前排,丙要排在后排, 则共有多少种不同的排法? 略解:甲、乙排在前排;丙排在后排;其余进行全排列. 所以一共有=5760种方法. ⑵ 不同的五种商品在货架上排成一排,其中a, b两种商品必须排在一起,而c, d两种商品不排在一起, 则不同的排法共有多少种? 略解:(“捆绑法”和“插空法”的综合应用)a, b捆在一起与e进行排列有; 此时留下三个空,将c, d两种商品排进去一共有;最后将a, b“松绑”有.所以一共有=24种方法. ☆⑶ 6张同排连号的电影票,分给3名教师与3名学生,若要求师生相间而坐,则不同的坐法有多少种? 略解:(分类)若第一个为老师则有;若第一个为学生则有 所以一共有2=72种方法. 示例三: ⑴ 由数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的正整数? 略解: ⑵ 由数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字,并且比13 000大的正整数? 解法一:分成两类,一类是首位为1时,十位必须大于等于3有种方法;另一类是首位不为1,有种方法.所以一共有个数比13 000大. 解法二:(排除法)比13 000小的正整数有个,所以比13 000大的正整数有=114个. 示例四: 用1,3,6,7,8,9组成无重复数字的四位数,由小到大排列. ⑴ 第114个数是多少? ⑵ 3 796是第几个数? 解:⑴ 因为千位数是1的四位数一共有个,所以第114个数的千位数应该是“3”,十位数字是“1”即“31”开头的四位数有个;同理,以“36”、“37”、“38”开头的数也分别有12个,所以第114个数的前两位数必然是“39”,而“3 968”排在第6个位置上,所以“3 968” 是第114个数. ⑵ 由上可知“37”开头的数的前面有60+12+12=84个,而3 796在“37”开头的四位数中排在第11个(倒数第二个),故3 796是第95个数. 示例五: 用0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数,其中 ⑴ 能被25整除的数有多少个? ⑵ 十位数字比个位数字大的有多少个? 解: ⑴ 能被25整除的四位数的末两位只能为25,50两种,末尾为50的四位数有个,末尾为25的有个,所以一共有+=21个. 注: 能被25整除的四位数的末两位只能为25,50,75,00四种情况. ⑵ 用0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数,一共有个.因为在这300个数中,十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的”,所以十位数字比个位数字大的有个. 三、小结:能够根据题意选择适当的排列方法,同时注意考虑问题的全面性,此外能够借助一题多解检验答案的正确性. 2.提出问题: 示例1: 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法? 示例2: 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动,有多少种不同的选法? 引导观察:示例1中不但要求选出2名同学,而且还要按照一定的顺序“排列”,而示例2只要求选出2名同学,是与顺序无关的. 引出课题:组合问题. 二、新授: 1.组合的概念:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 注:1.不同元素 2.“只取不排”——无序性 3.相同组合:元素相同 判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题: ⑴ 从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览;(组合) ⑵ 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记.(排列) 2.组合数的概念:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号表示. 例如:示例2中从3个同学选出2名同学的组合可以为:甲乙,甲丙,乙丙.即有种组合. 又如:从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览的组合:AB,AC,AD,BC,BD,CD一共6种组合,即: 在讲解时一定要让学生去分析:要解决的问题是排列问题还是组合问 题,关键是看是否与顺序有关. 那么又如何计算呢? 3.组合数公式的推导 ⑴提问:从4个不同元素a,b,c,d中取出3个元素的组合数是多少呢? 启发: 由于排列是先组合再排列,而从4个不同元素中取出3个元素的排列数 可以求得,故我们可以考察一下和的关系,如下: 组 合 排列 由此可知:每一个组合都对应着6个不同的排列,因此,求从4个不同元素中取出3个元素的排列数,可以分如下两步:① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合,共有个;② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列,各有种方法.由分步计数原理得:=,所以:. ⑵ 推广: 一般地,求从n个不同元素中取出m个元素的排列数,可以分如下两步:① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数;② 求每一个组合中m个元素全排列数,根据分布计数原理得: 图片:160814bn0a607adu96bzbx.png 图片:161227tzlz9rsf6qjv52ov.png 图片:161235b2c18717dc72dld0.png 图片:161235yono944nqjkjokqn.png |
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沙发#
发布于:2015-10-21 17:49
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